Τετάρτη 26 Φεβρουαρίου 2014

Στο π=3,14 & φ=1,618

Η μαθηματική σταθερά π=3,14 και η σχέση της με την μουσική

Η μαθηματική σταθερά - π - τι είναι; Είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία.

Είναι γνωστή επίσης... ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη).

Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδεδειγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.

Συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π ≈ 3,14. Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Τι σχέση έχει η μαθηματική σταθερά π=3,14 με την μουσική;

Η απάντηση στο καταπληκτικό βίντεο που ακολουθεί:

Πηγή:
goodstory.gr

Η σταθερά τού Αρχιμήδους - Ο άρρητος και υπερβατικός αριθμός π (3,14...)

«Όλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους»
[Ίαν Στιούαρτ, καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο τού Warwick]

Το περίεργο είναι ότι το π είναι ταυτοχρόνως άρρητος και υπερβατικός αριθμός. Άρρητος επειδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών και υπερβατικός επειδή είναι μεν πραγματικός, αλλά όχι αλγεβρικός. Δεν είναι ρίζα δηλαδή καμίας πολυωνυμικής εξισώσεως με ρητούς συντελεστές. Αποτελεί τη ζωντανή απόδειξη ότι δεν μπορούμε να τετραγωνίσουμε τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνον έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να κατασκευάσει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο.

Με απλά λόγια, τι είναι το π;

Ορισμός: Είναι ο λόγος τής περιφερείας ενός οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του.

Η εύρεση τής ακριβούς τιμής του είναι αδύνατη, διότι τα δεκαδικά ψηφία του συνεχίζονται επ' άπειρον. Ένας υπερυπολογιστής στο Τόκιο υπολόγισε κάποτε περισσότερα από δύο δισεκατομμύρια ψηφία τού π, χωρίς φυσικά να φθάσει στο... τελευταίο. Η επίμονη αναζήτηση ξεκίνησε ίσως με τον Γερμανό μαθηματικό Λούντολφ βαν Τσόιλεν, ο οποίος γύρω στο 1600 υπολόγισε τα πρώτα 35 δεκαδικά ψηφία τού π. Ήταν τόσο υπερήφανος για αυτό το έργο, στο οποίο αφιέρωσε μεγάλο μέρος τής ζωής του, που ζήτησε να γράψουν τα 35 ψηφία στην επιτύμβια στήλη του. Εξίσου επίμονος, ο Γουίλιαμ Σανκς αφιέρωσε από την πλευρά του 20 χρόνια στους υπολογισμούς προχωρώντας το π στα 707 δεκαδικά ψηφία. Δυστυχώς το επίτευγμά του υπέστη τεράστιο πλήγμα όταν οι πρώτοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές ανακάλυψαν ότι είχε κάνει λάθος στο 528ο δεκαδικό ψηφίο, αχρηστεύοντας όλα τα επόμενα.

Μία από τις αρχαιότερες και ακριβέστερες τιμές τού π πάντως, ήταν εκείνη τού Αιγυπτίου γραφέως Αχμές (1650 π.Χ. περίπου). Περιέγραψε τον π ως το αποτέλεσμα τής διαιρέσεως τού 256 δια τού 81, δηλαδή 3,160. Εκείνος όμως ο οποίος θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισμό τού π σε μία πιο θεωρητική βάση ήταν ο Αρχιμήδης. Έτσι, είναι γνωστό και ως η σταθερά τού Αρχιμήδους. Κινέζοι, Ινδοί και Πέρσες σοφοί προσπάθησαν όλοι να υπολογίσουν τη σταθερά αυτή. Ωστόσο, το όνομα με την οποία την γνωρίζουμε σήμερα τής δόθηκε το 1706, όταν ο Ουαλλός μαθηματικός Γουίλιαμ Τζώουνς πρότεινε να ονομαστεί η σταθερά τού Αρχιμήδους με το ελληνικό γράμμα π, από τη λέξη «περιφέρεια». Εκείνος που απέδειξε ότι το π είναι ένας άρρητος αριθμός, εκτός κάθε μαθηματικής λογικής, ήταν ο Γιόχαν Λάμπερτ το έτος 1761. Η δεύτερη μεγάλη ανακάλυψη σημειώθηκε το έτος 1882, όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι ο π είναι και υπερβατικός αριθμός.

Για τη διευκόλυνση τής απομνημόνευσης μέρους τού αριθμού π θα συναντήσει κανείς σε πολλές γλώσσες στιχάκια στα οποία ο αριθμός γραμμάτων κάθε λέξης συμπίπτει με τα πρώτα δεκαδικά ψηφία τού π, ένα προς ένα. Στα ελληνικά επινοήθηκε τετράστιχο που προσπαθεί να περιγράψει τον π:

Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί
το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον
και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι

3,1415926535897932384626

Ελπίζω να απολαύσατε την ιστορία αυτή. Και κάτι ακόμη: Οι «τρελλάρες» οι Αμερικανοί, έχουν ανακηρύξει την 14η ημέρα τού μηνός Μαρτίου, ως Παγκόσμια Ημέρα τού αριθμού π! Για προφανή λόγο...

Διηνέκης

Πηγή

Αναρτήθηκε από Λόγιος Ερμή

«1,618...» - Ο αγαπημένος αριθμός του Σύμπαντος

ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Τι κοινό έχουν οι ζωγραφικοί πίνακες της Αναγέννησης με τα τριαντάφυλλα και τις μαύρες τρύπες του Σύμπαντος; Η απάντηση είναι ότι και στις τρεις περιπτώσεις εμφανίζεται ο ξεχωριστός αριθμός 1,618... με το άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Οι μαθηματικοί της αρχαιότητας συγκλονίστηκαν, όταν οι ξεχωριστές ιδιότητας του 1,618... (του αριθμού φ) άρχισαν να αποκαλύπτονται μπροστά στα μάτια τους. Σήμερα, ο λεγόμενος «χρυσός αριθμός», που αποκαλείται και «χρυσή αναλογία» ή απλά, φ, εξακολουθεί να εντυπωσιάζει μαθηματικούς, αρχιτέκτονες, βιολόγους και πολλούς άλλους, επειδή εμφανίζεται συνεχώς σε νέους και απρόσμενους συσχετισμούς. Το Σύμπαν δείχνει να τρέφει μια ιδιαίτερη αδυναμία γι’ αυτόν τον αριθμό με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία.

Αν παρατηρήσει κανείς ένα οποιοδήποτε φυτό από τον κήπο, θα συναντήσει, σχεδόν σίγουρα, τον αριθμό φ, στη διάταξη των φύλλων ή των λουλουδιών του. Για παράδειγμα, στην κυκλική διάταξη της στεφάνης του τριαντάφυλλου, τα πέταλα διατάσσονται όπως τα σκαλοπάτια μιας ελικοειδούς σκάλας. Η γωνία ανάμεσα σε 2 πέταλα είναι περίπου 222,5 μοίρες. Αν διαιρέσουμε τις 360 μοίρες του κύκλου με τον αριθμό 222,5, το πηλίκο είναι, κατά μεγάλη προσέγγιση, ο αριθμός φ. Σύμφωνα με μετρήσεις, σ’ αυτήν ακριβώς τη γωνία των 222,5 μοιρών, τα φύλλα των φυτών ρίχνουν την ελάχιστη δυνατή σκιά το ένα στο άλλο.

Ο κατάλογος είναι ατελείωτος: το φ εμφανίζεται στα κελύφη των σαλιγκαριών, αλλά και στη μορφή των γαλαξιών, στις διακυμάνσεις του χρηματιστηρίου και στις αποστάσεις ανάμεσα στα κουκούτσια του μήλου. Ακόμα και πολλά από τα πιο μικρά σωματίδια στη φύση φαίνεται ότι διατάσσονται σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία.

Πριν από λίγα χρόνια, Ελβετοί και Αμερικανοί επιστήμονες μελετούσαν τους λεγόμενους ημικρυστάλλους, οι οποίοι έχουν πολύ ιδιαίτερη δομή σε επίπεδο ατόμων. Η επιφάνειά τους αποτελείται από έδρες με δύο διαφορετικά ύψη. Όταν τα ύψη αυτά μετρήθηκαν μ’ ένα ακριβέστατο μικροσκόπιο σάρωσης σήραγγας (STM), οι ερευνητές έκπληκτοι ανακάλυψαν ότι ο λόγος του μεγαλύτερου ύψους προς το μικρότερο είναι ακριβώς 1,618... Η θεωρία των ερευνητών είναι ότι ο κρύσταλλος έχει τη μεγαλύτερη σταθερότητα, όταν υπάρχει αυτή ακριβώς η σχέση.

ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΑΡΑΓΜΕΝΟΙ ΣΕ ΚΟΚΑΛΟ
Η χρυσή αναλογία αποτελεί ένα εντυπωσιακό παράδειγμα της αινιγματικής σχέσης που υπάρχει ανάμεσα στους αφηρημένους νόμους των αριθμών και τον υλικό κόσμο. Από τότε που ο αριθμός φ προσεγγίστηκε (εδώ και πάνω από 2000 χρόνια) πολλές γενιές μαθηματικών μελέτησαν τις ξεχωριστές ιδιότητές του. Η ιστορία του φ είναι η ιστορία των αριθμών και της μαθηματικής επιστήμης.

Οι αριθμοί μπορούν να εκφράζουν αντικειμενικά, μετρήσιμα μεγέθη. Γι’ αυτό, ήταν από την αρχαιότητα απαραίτητοι στο εμπόριο, στη φορολογία και στη μέτρηση του μήκους, του βάρους και του χρόνου. Αργότερα, έγιναν η κυρίαρχη γλώσσα της οικονομίας και της επιστήμης και στη σημερινή κοινωνία της πληροφορικής οι υπολογιστές μετατρέπουν μουσική και εικόνες σε δυαδικούς αριθμητικούς κώδικες, οι οποίοι στέλνονται σε άλλους υπολογιστές μέσω του Διαδικτύου. Σε ολόκληρο τον κόσμο, με τον τρόπο αυτόν στέλνουμε πολλά τρισεκατομμύρια αριθμούς κάθε δευτερόλεπτο.

Το αρχαιότερο τεκμηριωμένο εύρημα για τη χρήση αρίθμησης είναι ηλικίας 37.000 ετών. Στα όρη Λεμόμπο της Αφρικής, οι αρχαιολόγοι βρήκαν ένα μηριαίο οστό μπαμπουίνου με 29 συμμετρικές χαρακιές. Το εύρημα, βέβαια, μπορεί να ερμηνευτεί με διάφορους τρόπους, αλλά μια προφανής πιθανότητα είναι ότι οι χαρακιές αντιπροσωπεύουν μια σειρά ημερών ανάμεσα σε δυο συμβάντα, το σύνολο των σκοτωμένων θηραμάτων ή άλλων πραγμάτων από την καθημερινότητα της μακρινής εκείνης εποχής.

Τα πρώτα πραγματικά αριθμητικά συστήματα είναι, ωστόσο, πολύ νεότερα. Ανάμεσα στους πρώτους πολιτισμούς που κατείχαν τόσο τη γλώσσα όσο και τους υπολογισμούς ήταν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι της Μεσοποταμίας, στο σημερινό Ιράκ. Στο δέλτα των ποταμών Τίγρη και Ευφράτη, οι Βαβυλώνιοι δημιούργησαν γύρω στο 1800 π.Χ. ένα κράτος με κεντρική διοίκηση, νομοθεσία, ταχυδρομείο και ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης.

Σ’ ένα θεσιακό αριθμητικό σύστημα, η αξία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του ψηφίου αυτού στον αριθμό. Για παράδειγμα, προτιμάμε να έχουμε 1500 ευρώ αντί για 1050 ή 1005, γιατί η μετακίνηση του 5 προς τα δεξιά μειώνει την τιμή του. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα λέγεται δεκαδικό, επειδή η αξία κάθε ψηφίου δεκαπλασιάζεται κάθε φορά που το ψηφίο μετακινείται κατά μια θέση προς τα αριστερά. Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων δεν είχε σαν βάση το 10, αλλά το 60. Στο σύστημα αυτό, η αξία του ψηφίου πολλαπλασιάζεται επί 60 σε κάθε μετακίνηση του προς τα αριστερά. Οι επιστήμονες γνωρίζουν αρκετά για την ανάπτυξη των μαθηματικών των Βαβυλωνίων, από τις χιλιάδες πήλινες πινακίδες με σφηνοειδή γραφή που σώζονται μέχρι τις ημέρες μας. Από αυτές γνωρίζουμε, ακόμα, ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν ανακαλύψει και μια πρωτόγονη εκδοχή του μηδενός, γύρω στο 700 π.Χ.

ΤΟ ΜΗΔΕΝ ΞΕΧΑΣΤΗΚΕ
Οι Βαβυλώνιοι, ωστόσο, δεν επινόησαν κάποιο σύμβολο για το μηδέν, απλά, άφησαν μια θέση στον αριθμό κενή. Για αρχή, αυτό αποτελούσε μια τεράστια μαθηματική καινοτομία, αλλά δυστυχώς ξεχάστηκε σύντομα. Οι επόμενες γενιές των μαθηματικών δεν αντιλήφθηκαν τη μεγάλη σημασία του μηδενός και επέστρεψαν σε πιο πρωτόγονα ψηφία. Πάντοτε ήταν δύσκολο να κατανοήσει κανείς την αξία ενός ψηφίου που αντιπροσωπεύει το «τίποτα». Ακόμα και σήμερα, ωστόσο, χρησιμοποιούμε το βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης με βάση το 60: μεταξύ άλλων, η ώρα υποδιαιρείται σε 60 λεπτά, το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα και ο κύκλος σε 360 μοίρες. Αυτές οι υποδιαιρέσεις έχουν κληροδοτηθεί στον πολιτισμό μας και (σύμφωνα με ένα μέρος της βιβλιογραφίας γύρω από την αρχαιότητα) από τη Βαβυλώνα έχουμε επίσης κληρονομήσει τη χρυσή αναλογία.

Ανάμεσα στα χιλιάδες σωζόμενα ανάγλυφα, μνημεία και αγάλματα της αρχαίας Βαβυλώνας, ορισμένοι (όπως το ανάγλυφο «Πληγωμένη λέαινα», του 650 π.Χ.) εγγράφονται με ελάχιστες αποκλίσεις σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που ο λόγος των διαστάσεών του ισούται με φ. Με βάση αυτό, πολλοί ιστορικοί της τέχνης και ερασιτέχνες αρχαιολόγοι έχουν υποστηρίξει από παλιά ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τη χρυσή αναλογία. Κατά πάσα πιθανότητα, όμως, πρόκειται για εσφαλμένη αντίληψη. Οι σοβαρότερες έρευνες για την αρχαιότητα αμφισβητούν εδώ και δεκαετίες την τάση των αριθμολόγων αποκρυφιστών να βλέπουν παντού το φ. Οι σκεπτικιστές επισημαίνουν ότι μπορούμε να βρούμε άπειρους διαφορετικούς αριθμούς σχεδόν σε κάθε αντικείμενο. Αν μετρήσει κανείς τις διαστάσεις μιας τηλεόρασης και εφαρμόσει σ’ αυτές τις 4 πράξεις της αριθμητικής, μπορεί να εξαγάγει όποιο αποτέλεσμα θέλει (μεταξύ αυτών και το φ). Όμως, δεν μπορεί με γνώμονα αυτούς τους υπολογισμούς να συμπεράνει ότι ο κατασκευαστής της τηλεόρασης χρησιμοποίησε συνειδητά το φ.

Οι Βαβυλώνιοι, κατά πάσα πιθανότητα, δεν γνώριζαν τίποτα για τη χρυσή αναλογία και τη γεωμετρική της σημασία. Η δόξα για τον πρώτο προσδιορισμό το φ ανήκει στον Έλληνα Ευκλείδη από την Αλεξάνδρεια, ο οποίος, σύμφωνα με την άποψη πολλών, θεμελίωσε τη μαθηματική επιστήμη γύρω στο 300 π.Χ.

Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
Ο Ευκλείδης συγκέντρωσε το μεγαλύτερο μέρος των τότε πρακτικών μαθηματικών γνώσεων σε 13 βιβλία με το γενικό τίτλο «Στοιχεία», τα οποία αποτέλεσαν έκτοτε υπόδειγμα για κάθε μαθηματικό. Τα «Στοιχεία» έχουν γνωρίσει πάνω από 1.000 εκδόσεις από την πρώτη τους εκτύπωση στο τυπογραφείο του Γουτεμβέργιου, εδώ και περίπου 500 χρόνια. Είναι πιθανότατα το πιο πολυδιαβασμένο βιβλίο στο Δυτικό κόσμο, μετά τη Βίβλο.

Τα «Στοιχεία» έχουν κερδίσει το θαυμασμό πάνω απ’ όλα για τη σαφήνειά τους και για την αυστηρή τους συγκρότηση. Οι μαθηματικοί πριν από τον Ευκλείδη σπάνια προβληματίζονταν για την ορθότητα μιας συγκεκριμένης μαθηματικής αντίληψης (εμπιστεύονταν απλά τη διαίσθησή τους). Ο Ευκλείδης, αντίθετα, θεμελίωσε εξαρχής τα μαθηματικά του σε αξιώματα, δηλαδή σε θεμελιώδεις προτάσεις των οποίων η αλήθεια δεν αποδεικνύεται, αλλά απλά διατυπώνονται ως εμπειρικά αυταπόδεικτες αρχές. Το πλεονέκτημα με τα μαθηματικά που βασίζονται σε αξιώματα είναι ότι όσοι αποδέχονται ένα αξίωμα θα πρέπει επίσης να αποδεχτούν και όλο το θεωρητικό οικοδόμημα που χτίζεται με βάση το αξίωμα αυτό. Το πρώτο αξίωμα στα βιβλία γεωμετρίας του Ευκλείδη λέει απλά ότι από δύο σημεία διέρχεται μια και μόνο ευθεία. Σύμφωνα με το τέταρτο αξίωμα, όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Η καταγραφή τέτοιων αυτονόητων πραγμάτων μπορεί να φαίνεται περιττή, αλλά η χρησιμότητα των αξιωμάτων είναι θεμελιώδης στο οικοδόμημα των μαθηματικών.

ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΕΙΝΑΙ ΦΤΙΑΓΜΕΝΟ ΛΑΘΟΣ
Με τη βοήθεια αυτών των θεμελιωδών αξιωμάτων, ο Ευκλείδης κατάφερε να αποδείξει την ισχύ όλης της γεωμετρίας των κύκλων, των τριγώνων, των ορθογωνίων παραλληλογράμμων κλπ., την οποία διδάσκονται ακόμα και σήμερα τα παιδιά στα σχολεία. Οι σημερινοί μαθηματικοί εξάγουν κι αυτοί τα συμπεράσματά τους στηριζόμενοι σε αξιώματα.

Το έργο του Ευκλείδη αποτέλεσε ορόσημο για τα μαθηματικά. Με το καινούργιο του εργαλείο, ο αρχαίος μαθηματικός κατάφερε να προσεγγίσει τη χρυσή αναλογία. Ο αριθμός φ αντλεί τον ορισμό του από τη λεγόμενη χρυσή τομή. Η αφετηρία είναι γεωμετρική: ο Ευκλείδης παίρνει ένα ευθύγραμμο τμήμα (ΑΒ) και το διαιρεί σε δύο τμήματα (ΑΓ) και (ΓΒ). Η χρυσή τομή είναι εκείνο το σημείο (Γ) που διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα (ΑΒ) στα δυο τμήματα, έτσι ώστε το πηλίκο του (ΑΒ) προς το μεγαλύτερο τμήμα (ΑΓ) να είναι ίσο με το πηλίκο του μεγαλύτερου τμήματος (ΑΓ) προς το μικρότερο (ΓΒ). Η αναλογία αυτή λέγεται «χρυσή αναλογία» και σύμφωνα με τον ορισμό του Ευκλείδη, υπολογίζεται ότι έχει αριθμητική τιμή 1,618..., δηλαδή ότι το μεγαλύτερο τμήμα θα έχει πάντα 1,618... φορές μεγαλύτερο μήκος από το μικρότερο. Τα δεκαδικά ψηφία είναι άπειρα και η ακολουθία τους δεν επαναλαμβάνεται.

Κατά τον ίδιο τρόπο, αποκαλούμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο «χρυσό», όταν το πηλίκο της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη πλευρά του ισούται με φ. Αυτό το ορθογώνιο έχει μια ιδιότητα που το ξεχωρίζει από όλα τα άλλα: αν αφαιρέσουμε από τη μια πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο, απομένει ένα καινούργιο ορθογώνιο, που είναι επίσης χρυσό, και αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον. Αν ενώσει κανείς με μια καμπύλη τις κορυφές όλων αυτών των ορθογωνίων, που είναι και χρυσές τομές, σχηματίζεται μια λογαριθμική έλικα. Αυτή ακριβώς η έλικα υπάρχει παντού στη φύση. Για παράδειγμα, στο κέλυφος των σαλιγκαριών, στο όστρακο των ναυτίλων και στην ιδιόμορφη ελικοειδή διάταξη που σχηματίζεται από τους σπόρους των ηλίανθων.

Επομένως, το φ είναι ένας «άρρητος» ή «ασύμμετρος» αριθμός, δηλαδή αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί με τη μορφή κλάσματος ακεραίων. Ίσως όμως αυτή ακριβώς η ασυμμετρία του τον κάνει χρήσιμο για τη φύση (π.χ. για τα φυτά).

Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών δημιούργησε στους κύκλους των σοφών της αρχαίας Ελλάδας, ούτε λίγο ούτε πολύ, μια φιλοσοφική κρίση, διότι οι αριθμοί αυτοί θεωρήθηκαν σαν ένα τρομακτικό λάθος στην κατασκευή του σύμπαντος. Η σχολή των Πυθαγορείων είχε δημιουργήσει ένα φιλοσοφικό θρησκευτικό σύστημα με βάση τους ακέραιους αριθμούς. Για τους Πυθαγόρειους, μάλιστα, οι αριθμοί είχαν φυσική οντότητα στον κόσμο. Σύμφωνα με ένα ιστορικό ανέκδοτο, ο ιδρυτής του κινήματος Πυθαγόρας είχε κάποτε ακούσει δυο σιδεράδες να σφυροκοπούν πυρακτωμένα σίδερα. Οι τόνοι διέφεραν μεταξύ τους κατά διαστήματα ογδόης (οκτάβες), πέμπτης και τετάρτης και γι’ αυτό ηχούσαν αρμονικά. Οι σιδεράδες είχαν πολλά σφυριά και οι τονικές διαφορές οφείλονταν στο διαφορετικό βάρος των σφυριών αυτών. Μια οκτάβα, δηλαδή ένα διάστημα 8 βαθμίδων ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ίδιες νότες της επτάφθογγης κλίμακας, προέκυπτε από το χτύπημα δύο σφυριών που η σχέση τους ως προς το βάρος ήταν 2:1, για παράδειγμα, ζύγιζαν αντίστοιχα 12 και 6 κιλά (ή κάτι ανάλογο σε οποιαδήποτε μονάδα βάρους). Ακόμα και για τα διαστήματα πέμπτης και τετάρτης, η αναλογία του βάρους των σφυριών μπορούσε να δοθεί με κλάσματα μικρών ακέραιων αριθμών, όπως το 3:2 και 4:3. Για τον Πυθαγόρα, η ικανότητα των ακέραιων αριθμών να παράγουν μουσική αρμονία αποτελούσε ένα ακόμα τεκμήριο της κυριαρχίας τους στο σύμπαν.

Με αφετηρία τους ακέραιους αριθμούς, οι Πυθαγόρειοι συνδύασαν τη μαθηματική λογική, επιμέρους παρατηρήσεις και την ελεύθερη φαντασία και οικοδόμησαν ένα ισχυρό φιλοσοφικό σύστημα. Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών, όπως το φ, ήταν καταστροφική, διότι αποδείκνυε τις πεπερασμένες δυνατότητες των ακέραιων αριθμών.

Αριθμητικό σύστημα των Μάγια

ΟΙ ΙΝΚΑΣ ΜΕΤΡΟΥΣΑΝ ΜΕ ΚΟΜΠΟΥΣ
Οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν και με άλλους τρόπους εκτός των γραπτών συμβόλων, κι αυτό το απέδειξαν οι Ίνκας με το δικό τους σύστημα αρίθμησης. Σε αντίθεση με άλλους μεγάλους πολιτισμούς, οι Ίνκας δεν διέθεταν γραπτή γλώσσα. Οι κρατικοί λειτουργοί μετρούσαν κατοίκους και σοδειές με τη βοήθεια ενός αριθμητηρίου. Τα αθροίσματα «καταγράφονταν» με κόμπους σ’ ένα κατασκεύασμα από σχοινιά που λεγόταν quipu.

Τα σχοινιά ήταν από μαλλί, βαμβάκι ή φυτικές ίνες και αντιπροσώπευαν, π.χ., έναν αριθμό στρατιωτών, την ποσότητα κάποιου προϊόντος σε μια αποθήκη ή τον αριθμό των φορολογουμένων σε μια πόλη. Το χρώμα του σχοινιού μαρτυρούσε το είδος της μετρούμενης ποσότητας: το άσπρο σήμαινε, για παράδειγμα, ασήμι, το κίτρινο πολεμιστές και το γκρι επαρχίες. Ένας κόμπος αναπαριστούσε μια μονάδα, δύο κόμποι, ο ένας πάνω από τον άλλον, δύο μονάδες κλπ.

Όσο πιο κοντά βρισκόταν ένας κόμπος στον άξονα απ’ όπου κρέμονταν όλα τα σχοινιά, τόσο μεγαλύτερη αξία είχε. Κοντά στον άξονα ήταν 10.000, πιο κάτω 1.000, παρακάτω 100, 10 και τέλος 1. Το «κομβικό» σύστημα αρίθμησης των Ίνκας θύμιζε, δηλαδή, το δικό μας δεκαδικό σύστημα.

Το quipu λειτουργούσε ταυτόχρονα και σαν ημερολόγιο αλλά και σαν βοήθημα για προφορικές αφηγήσεις. Ίσως ο τρόπος ύφανσης των σχοινιών, το υλικό και οι διαφορετικών ειδών κόμποι να είχαν και αυτά κάποια σημασία, που ακόμα μας είναι άγνωστη.

Η ΕΥΡΩΠΗ ΚΡΑΤΗΣΕ ΤΑ ΡΩΜΑΪΚΑ ΨΗΦΙΑ
Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν εξαίρετοι γεωμέτρες, που ερευνούσαν τη λογική και την εσωτερική δομή των μαθηματικών με πρωτοποριακό τρόπο. Όμως, το αριθμητικό τους σύστημα, το οποίο είχε ομοιότητες με το ρωμαϊκό, ποτέ δεν εξελίχθηκε ιδιαίτερα, ίσως επειδή η πρώιμη ανακάλυψη των άρρητων αριθμών κλόνισε το κύρος των ακεραίων.

Η ανακάλυψη του νεότερου δεκαδικού συστήματος έγινε από τους Ινδούς και τα σύμβολα με τα οποία αναπαριστούμε τα ψηφία προέρχονται από τα ινδικά ψηφία brahmi, τα οποία αναπτύχθηκαν γύρω στο 500 μ.Χ. Γύρω στο 700 μ.Χ., οι Ινδοί τελειοποίησαν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, περιλαμβάνοντας σ’ αυτό και το μηδέν. Επειδή ήταν ευκολότερο να γίνονται οι τέσσερις πράξεις με τα αριθμητικά ψηφία των Ινδών, παρά με τα ελληνικά ή τα βαβυλωνιακά, τα νέα αυτά ψηφία διαδόθηκαν γρήγορα στην Κίνα και στον αραβικό κόσμο. Εκεί απέκτησαν, με το πέρασμα του χρόνου, μια άλλη μορφή, αλλά οι αρχές του συστήματος παρέμειναν ίδιες. Στην Ευρώπη το ινδικό σύστημα αρίθμησης το έφεραν οι Άραβες.

Η Ευρώπη άργησε να συντονιστεί στις αλλαγές. Μόλις γύρω στο 1200, ο Ιταλός μαθηματικός Leonardo Fibonacci διέδωσε το δεκαδικό σύστημα σ’ έναν ευρύτερο κύκλο. Το γεγονός ότι ο Fibonacci ήταν αυτό που έφερε την επανάσταση στα ευρωπαϊκά μαθηματικά είχε να κάνει με την πολυπολιτισμική ανατροφή του. Ο πατέρας του, που ήταν Ιταλός πρόξενος, έστειλε το γιο του να μαθητεύσει κοντά σ’ έναν Άραβα μαθηματικό. Αργότερα, ο Fibonacci σπούδασε στην Αίγυπτο, στη Συρία και στην Ελλάδα, και οι εμπειρίες του από αυτούς τους διαφορετικούς πολιτισμούς τον βοήθησαν να καταλάβει ότι το ινδοαραβικό δεκαδικό σύστημα ήταν πολύ ανώτερο από τους ρωμαϊκούς αριθμούς. Το βιβλίο του «Liber abbaci» (Βιβλίο περί του άβακος) έγινε το πρώτο ευρωπαϊκό έργο για τους νέους αριθμούς.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΚΟΥΝΕΛΙΩΝ
Κατά μία ειρωνεία της τύχης, όμως, ο Fibonacci δεν έγινε γνωστός ως εισηγητής του δεκαδικού συστήματος στην Ευρώπη, αλλά για τους υπολογισμούς του σχετικά με τον πολλαπλασιασμό των κουνελιών. Σ’ έναν περίφημο , πλέον, συλλογισμό, ο Fibonacci υπέθεσε ότι δυο κουνέλια είναι σε θέση να αρχίσουν να ζευγαρώνουν σε ηλικία 2 μηνών και στο εξής φέρνουν στον κόσμο άλλα 2 κουνέλια κάθε μήνα. Με βάση αυτή την υπόθεση, μπόρεσε να αποδείξει ότι το σύνολο των σεξουαλικά ώριμων κουνελιών αυξανόταν κάθε μήνα σύμφωνα με μια άπειρη ακολουθία, που αρχίζει ως εξής: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Κάθε αριθμός της ακολουθίας ισούται με το άθροισμα των δύο προηγουμένων.

Η «Ακολουθία Fibonacci», όπως ονομάζεται αυτή η σειρά αριθμών, είναι σήμερα γνωστή σε όλους τους μαθηματικούς, επειδή έχει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Το 1753, ο μαθηματικός Robert Simpson του Πανεπιστημίου της Γλασκόβης ανακάλυψε, π.χ., ότι ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών στην απειράριθμη αυτή ακολουθία προχωρώντας τείνει όλο και περισσότερο προς το φ. Η χρυσή αναλογία συνδέεται, δηλαδή, με τον πολλαπλασιασμό των κουνελιών, παρόλο που η « Ακολουθία Fibonacci» σχηματίστηκε ανεξάρτητα από την ευκλείδεια γεωμετρία.

Παρά τις προσπάθειες του Fibonacci, η χρήση του δεκαδικού συστήματος στην Ευρώπη καθιερώθηκε μόλις τον 17ο αιώνα. Ήδη από την Αναγέννηση, τα μαθηματικά βρίσκονταν σε μεγάλη άνοδο και προόδευαν όσο ποτέ. Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί μετέφεραν την ελληνική λογική και αυστηρότητα σε όλους τους τομείς των μαθηματικών και άγγιξαν νέα επίπεδα αφαίρεσης, αφήνοντας πίσω τους τα μαθηματικά της αρχαιότητας. Το 1509, ο Ιταλός μαθηματικός Luca Pacioli, στο βιβλίο του «De Divina Proportione» (Περί της Θείας Αναλογίας), παρουσίασε 5 επιχειρήματα για το ότι το φ είναι ένας θεϊκός αριθμός. Μεγάλοι ζωγράφοι της Αναγέννησης, όπως ο Botticelli, υιοθέτησαν το φ και χρησιμοποίησαν συνειδητά χρυσά ορθογώνια και χρυσές τομές για να προβάλουν κεντρικά στοιχεία (συχνά ιερά πρόσωπα) στις συνθέσεις τους. Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται ακόμα και στη σύγχρονη τέχνη, για παράδειγμα, στον περίφημο πίνακα του Salvador Dali «Ατομική Λήδα», όπου το φ συναντάται σ’ ένα «χρυσό» κανονικό πεντάγωνο με κέντρο τον ομφαλό της Λήδας.

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΜΕΝΟΥΝ ΑΙΝΙΓΜΑΤΙΚΟΙ
Από τις αρχές του 20ου αιώνα, οι ακέραιοι αριθμοί, οι ρητοί (που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα ακεραίων) και οι άρρητοι (που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσματα ακεραίων) ερμηνεύονται με βάση αξιώματα. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί απέχουν ακόμα πολύ από την πλήρη εξερεύνηση του συστήματος των αριθμών. Μια ολοκληρωμένη κατανόηση των αριθμών θα σήμαινε ότι όλα τα σχετικά με αυτούς προβλήματα θα μπορούσαν να λυθούν, αλλά αυτό μάλλον δεν πρόκειται να συμβεί ποτέ.

Για παράδειγμα, το 1742, ο μαθηματικός Christian Goldbach διατύπωσε την εικασία ότι κάθε άρτιος αριθμός αποτελεί άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα. Παραδείγματα πρώτων αριθμών είναι τα 2, 3, 5, 7, και 11. Κανείς ποτέ δεν ανακάλυψε κάποια εξαίρεση από αυτήν την εικασία, αλλά ούτε και μπόρεσε κανείς να αποδείξει την απόλυτη ισχύ της. Ίσως να υπάρχει έστω κι ένας άρτιος αριθμός που να μην αποτελεί άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Άρα, η εικασία του Goldbach δεν ικανοποιεί το αίτημα των αρχαίων Ελλήνων για ακρίβεια και αναγκαιότητα επαλήθευσης. Ίσως, μάλιστα, να μην μπορεί καν να επαληθευτεί. Γιατί, το 1931, ο νεαρός Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel εξαπέλυσε μια βόμβα στην παγκόσμια μαθηματική κοινότητα. Με μια μακροσκελή απόδειξη, ο Gödel παρουσίασε το θεώρημα ότι δεν υπάρχει κανένα πλήρες αξιωματικό σύστημα για τους ακέραιους αριθμούς.

Το «Θεώρημα (μη) πληρότητας» του Gödel προκάλεσε ένα σοκ ανάλογο με την ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών από τους Έλληνες. Έδειξε με σαφήνεια ότι πάντα θα υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους αριθμούς, που δεν θα είναι αποδείξιμες, με άλλα λόγια, που δεν θα μπορούμε να γνωρίζουμε με την αυστηρή έννοια του όρου, εάν αυτές είναι αληθείς ή ψευδείς. Το «Θεώρημα της (μη) πληρότητας» είναι ένα από τα σπουδαιότερα μαθηματικά συμπεράσματα που διατυπώθηκαν ποτέ, αλλά γκρέμισε ταυτόχρονα ένα πανάρχαιο όνειρο. Ο ίδιος ο Gödel έβλεπε το θεώρημά του με αισιοδοξία. Γι’ αυτόν αποτελούσε απόδειξη ότι η διαίσθηση και η δημιουργικότητα θα είναι πάντα τα σημαντικότερα εργαλεία του μαθηματικού στην αποκάλυψη των μυστηρίων των αριθμών.

Το 1940, ο Gödel, που ήταν Εβραίος, αναγκάστηκε να μεταναστεύσει στις ΗΠΑ, όπου έμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του. Στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, ο Gödel, που ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα, γνώρισε τον εξίσου μεγάλο φυσικό Albert Einstein. Ο Gödel υπέφερε από μανία καταδίωξης και ανορεξία, και ο Einstein του πρότεινε να κάνουν καθημερινά έναν περίπατο μαζί. Χάρη στη φιλία αυτή, ο Gödel συνέλαβε κάποιες επαναστατικές λύσεις για τις εξισώσεις σχετικότητας του Einstein. Επίσης, επισήμανε τη δυνατότητα ταξιδιών στο χρόνο μέσω των ακραίων βαρυτικών πεδίων στις μαύρες τρύπες του Σύμπαντος. Ακόμα και σήμερα, πολλοί επιστήμονες μελετούν το παράδοξο που δημιουργούν αυτά τα ταξίδια στο χρόνο.

Τώρα, το τι συζητούσε ο λεπτός και νευρωτικό Gödel με τον ελαφρώς ευτραφή και πρόσχαρο Einstein στους καθημερινούς τους περιπάτους δεν μπορούμε να ξέρουμε. Ίσως, μεταξύ άλλων, να ανέλυαν και τη χρυσή αναλογία, η οποία επίσης εμφανίζεται στις μαύρες τρύπες της θεωρίας της σχετικότητας.

Σύμφωνα με υπολογισμούς, οι παμφάγες μαύρες τρύπες εναλλάσσονται μεταξύ δύο καταστάσεων. Στη μια κατάσταση, το βαρυτικό τους κέντρο (singularity) έχει αρνητική ειδική θερμοχωρητικότητα, κατά την οποία, σε αντίθεση με όποια λογική, γίνονται θερμότερες όσο πιο πολλή ενέργεια χάνουν. Στην άλλη κατάσταση έχουν κανονική θετική θερμοχωρητικότητα.

Η λεπτή διαχωριστική γραμμή ανάμεσα σε αυτές τις δύο θέσεις εξαρτάται, μεταξύ άλλων, και από την ταχύτητα περιστροφής της τρύπας. Πώς όμως υπολογίζεται η ταχύτητα αυτή; Στην εξίσωση για τον υπολογισμό της ταχύτητας αυτής συμμετέχει (εννοείται) και κάποια σταθερά, ο αριθμός του Σύμπαντος φ = 1,61803398874989484..